Исследование колебаний композитного магнитоэлектроупругого биморфа в зависимости от объемных долей его компонентов на основе прикладной теории

Введение. При производстве сенсорных и измерительных систем, малогабаритных бытовых приборов, сотовых телефонов и беспроводных сенсорных систем для мониторинга и диагностики технического состояния объектов не нужны мощные источники энергии. При этом обязательными условиями являются мобильность и энергонезависимость вышеперечисленных устройств.

Пьезоэлектрические материалы напрямую преобразуют электрическую энергию в механическую и обратно. Это свойство позволяет широко использовать их в науке и технике. Данные материалы задействуют в ультразвуковых излучателях упругих и акустических волн, приемниках таких волн, устройствах подавления колебаний элементов машин и конструкций и т. п. В последнее время бурно развивается еще одна область применения пьезоэлектриков — устройства сбора и накопления энергии. В этом случае пьезоэлектрические материалы входят в состав пьезоэлектрических генераторов энергии (ПЭГ). ПЭГ помещаются на элементах машин или конструкций, которые интенсивно колеблются, находятся в зоне прохождения упругих волн или подвержены действию переменного давления. Основные типы этих устройств имеют биморфную или стековую многослойную структуру и испытывают изгибные или продольные деформации соответственно. На основе ПЭГ создаются маломощные источники электрического тока. В их числе — автономные источники питания (например, для устройств мониторинга повреждений в труднодоступных местах сооружений трубопроводов и т. п.). Обзор таких устройств есть в [1–2]. Один из способов конструировать эффективные ПЭГ — использование пьезоактивных композитов различного типа связности и неоднородных материалов на основе пьезокерамики, в том числе пористой.

Фиксировать или задействовать энергию переменного магнитного поля могут ПЭГ, в конструкции которых есть дополнительные электромагнитные элементы или постоянные магниты. Один из путей решения данной задачи — использование пьезомагнитных материалов в сочетании с пьезоэлектрическими. В этом случае переменное магнитное поле приводит к деформации пьезомагнетика и связанного пьезоэлектрика, в результате последний генерирует электрическую энергию. Существует класс материалов, обладающих пьезомагнитными свойствами. Пьезомагнетизм — это явление, наблюдаемое в некоторых антиферромагнитных и ферромагнитных кристаллах. Он характеризуется линейной связью между магнитной поляризацией системы и механической деформацией. В пьезомагнитном материале можно вызвать спонтанный магнитный момент, приложив механическое напряжение, или деформацию, приложив магнитное поле. В исследованиях пьезомагнитных материалов очень часто рассматривается CoFe₂O₄ [3–5]. В [6–8] исследуется композит на основе CoFe₂O₄ и BaTiO₃, обладающий пьезоэлектрическими и пьезомагнитными свойствами одновременно. Решения задач электроупругости и магнитоупругости приведены в [9–11]. В [12] развиты прикладные теории колебаний многослойных пьезоэлектрических пластин с учетом специфики распределения электрического потенциала по толщине конструкции.

Задачи об установившихся колебаниях электромагнитоупругого слоя и полупространства под действием гармонических нагрузок представлены в [13][14]. Учтены предварительные напряжения, а также различные электрические и магнитные условия на границах. Исследовано влияние указанных факторов на дисперсионные свойства.

Ранее [15][16] была разработана прикладная теория, которая учитывает неоднородное распределение электрического потенциала в продольном направлении и квадратичную зависимость по толщине. В этих же работах исследовано напряженно-деформированное и электрическое состояние шарнирно опертого и консольно закрепленного биморфа. В обоих случаях прикладная теория показала хорошую сходимость с результатами конечноэлементного моделирования. Авторы также получили прикладную теорию колебаний биморфа [17], состоящего из электроупругого и магнитоупругого слоя. Этот подход хорошо согласуется с результатами конечноэлементного анализа.

В данной работе рассматриваются колебания устройства в рамках плоской деформации. На основе вариационного принципа построена прикладная теория изгибных колебаний двухслойного пьезомагнитоэлектрического биморфа. Для установившихся колебаний получены граничные условия и система дифференциальных уравнений для четырех неизвестных функций (прогиб, электрический потенциал в середине слоя, магнитный потенциал в середине слоя и на внешней границе), зависящих от длины биморфа.

Исследовано влияние разных процентных объемных соотношений состава биморфа на прогиб, электрический и магнитный потенциалы в определенных положениях. Результаты исследования позволяют выбрать состав композиционного пьезомагнитоэлектрического материала для достижения наиболее эффективной работы устройства.

Материалы и методы. Рассматривается пластина, состоящая из двух одинаковых пьезомагнитоэлектрических слоев. Она совершает установившиеся поперечные колебания в рамках плоской деформации. Каждый слой представляет собой композит 2–2 связности, состоящий из чередующихся пьезоэлектрических и пьезомагнитных слоев (рис. 1).

В [8] найдены эффективные свойства такого композита. Большие поверхности слоев электродированы, а сами слои поляризованы по толщине. Биморф шарнирно закреплен по краям, все поверхности свободны от механических напряжений. На верхнюю и нижнюю границы пластины воздействует магнитный поток B0, в то время как на границе между слоями магнитный потенциал считается равным нулю. Электрический потенциал равен нулю на всех электродах. Боковые поверхности считаются изолированными от магнитных и электрических полей.

Уравнения для описания колебаний композита с эффективными свойствами, связностью механических, электрических и магнитных полей, имеют вид [18]:

(1)

Здесь σ и ε — тензоры механических напряжений и деформации, D и E — векторы электрической индукции и напряженности электрического поля, B и H — векторы магнитной индукции и напряженности магнитного поля, ρ — плотность материала, c — тензор упругих модулей, e — тензор пьезоэлектрических модулей, h — тензор пьезомагнитных модулей, κ — тензор диэлектрических проницаемостей, α — тензор магнитоэлектрических модулей, μ — тензор магнитных проницаемостей, f — вектор плотности массовых сил, σ_Ω — объемная плотность электрических зарядов, u — вектор перемещений, φ и ξ — электрический и магнитный потенциалы.

Граничные условия определяются для механического, электрического и магнитного поля соответственно.

Для первого случая отметим отсутствие механических напряжений на границе биморфа:

Биморф шарнирно закреплен на концах (рис. 2):

Далее сформулируем электрические граничные условия. Электрический потенциал на внутреннем и на внешнем электроде соответственно:

Укажем магнитные граничные условия. Магнитный потенциал на внутренней границе:

Магнитный поток B0 воздействует на верхнюю и нижнюю границы пластины:

Воспользуемся вариационным уравнением для установившихся колебаний [10]. Оно обобщает принцип Гамильтона в теории электроупругости с учетом магнитных составляющих. Для случая плоской деформации при отсутствии поверхностных нагрузок и при наличии магнитного потока:

(2)

Для построения прикладной теории колебаний примем гипотезы Кирхгофа. В соответствии с ними распределение перемещений по толщине имеет вид:

(3)

В частности, для механического поля принята гипотеза единой нормали. Далее рассматривается задача, в которой значение электрического потенциала на электродах может быть равно нулю, поэтому его распределение не описывается линейной функцией. С учетом возможной неоднородности по длине элемента, связанной с влиянием граничных условий на концах биморфа, его распределение по толщине принимается квадратичным:

(4)

Здесь . Функции V₀, V₁ и V₂ отвечают за значение электрического потенциала на внутреннем электроде, в середине слоя и на внешнем электроде соответственно. Чтобы удовлетворить условиям задачи, примем эти функции в следующем виде (см. рис. 2):

Здесь функция Ф(x₁) является неизвестной.

Представим квадратичное распределение магнитного потенциала по толщине каждого слоя. Распределение по длине неоднородно, на внутренней границе слоев его значение принимается равным нулю:

(5)

Здесь . Функции M₀, M₁ и M₂ отвечают за значение магнитного потенциала на внутренней границе, в середине слоя и на внешней границе соответственно и принимаются в следующем виде (рис. 2):

Здесь функции (x1)  и (x1) являются неизвестными.

Соотношения (3)–(5) подставим в уравнение (2) и проинтегрируем его по толщине биморфа, а затем приравняем к нулю коэффициенты при независимых вариациях δw, δФ, 2 δ и 3 δ. Тем самым мы получаем систему из четырех дифференциальных уравнений (6) от четырех неизвестных функций, зависящих от x₁ (далее опустим нижний индекс), и пять граничных условий (7).

Результаты исследования. Сопоставлены результаты расчета биморфа по предложенной теории с конечноэлементным расчетом в низкочастотной области для соотношения объемных долей пьезоэлектрического и пьезомагнитного компонентов 80 % BaTiO3 и 20 % CoFe2O4. Сравнение показало, что погрешность в нахождении характеристик механического и магнитного полей менее 1 %. При определении электрического поля в средней части пластины разница составила порядка 5 %. Описывая ситуацию в окрестности точек опоры, следует отметить, что размер окрестности по продольной координате приблизительно равен толщине биморфа. Здесь при определении электрического поля зафиксирована разница 20 %.

Первым шагом исследования колебания двухслойного пьезомагнитоэлектрического биморфа при изменении объемного соотношения BaTiO₃ и CoFe₂O₄ в составе композита является определение его эффективных свойств. В таблицах 1 и 2 представлены эти свойства, найденные по результатам работы [8].

Колебания биморфа возбуждались магнитным потоком, приложенным к верхней и нижней граням (рис. 2), который изменялся по гармоническому закону с амплитудой B₀=5*10^-5 Вб и частотой 10 кГц.

На рис. 3 представлен прогиб в середине слоя в зависимости от объемной доли BaTiO3. Из графика видно, что прогиб в положении, имеющем координаты , равен нулю, если биморф состоит только из пьезоэлектрика BaTiO₃. Прогиб биморфа достигает наибольшего значения, если в его составе только пьезомагнетик CoFe₂O₄. Прогиб практически линейно зависит от объемного соотношения составляющих пьезоактивных материалов.

На основе данных рис. 4 можно сделать заключение, что электрический потенциал в середине слоя нелинейно изменяется при изменении объемного соотношения состава пьезоактивных материалов биморфа. Если биморф состоит только из BaTiO₃ либо CoFe₂O₄, то электрический потенциал в точке (L / 2, Н / 2)   равен нулю и достигает наибольшего значения при 35 % BaTiO3 в составе биморфа.

Анализ рис. 5 и 6 позволяет сделать заключение, что магнитный потенциал в середине слоя (L / 2) и на внешней границе (L / 2) практически линейно увеличивается с ростом объема BaTiO3 в составе биморфа.

Обсуждение и заключения. Предложена прикладная теория для расчета поперечных колебаний биморфа из двух слоев композита на основе CoFe₂O₄ и BaTiO₃, обладающего одновременно пьезоэлектрическими и пьезомагнитными свойствами, в переменном магнитном поле. Такая конструкция может служить моделью пьезоэлектрического генератора устройства сбора и накопления энергии при действии внешнего магнитного поля. В низкочастотной области (ниже собственной частоты первой изгибной моды) проведены расчеты напряженно-деформированного состояния биморфа, распределения электрического и магнитного полей. Исследована зависимость прогиба, электрического и магнитного потенциалов от объемного соотношения состава биморфа. В дальнейшей работе предполагается определить выходной потенциал и мощность электрического тока, возбуждаемого переменным магнитным полем. Целью этих изысканий будет сбор электрической энергии.